6.1. Métodos de un paso
Los métodos de un paso tienen por objetivo obtener una aproximación de la solución de un problema bien planteado de valor inicial en cada punto de la malla, basándose en el resultado obtenido para el punto anterior.
Se desarrollan aquí los métodos Taylor (incluyendo Euler), y de Runge Kutta. Para ver el detalle de cada uno de los métodos, hacer click en cada uno de los siguientes vínculos. Para volver a esta página, hacer click en la solapa "métodos de un paso".
¿Cómo decidir qué método aplicar?
Hay dos cuestiones importantes que deben tenerse en cuenta al evaluar un algoritmo:
Para los algoritmos vistos, el mayor esfuerzo se presenta en la evaluación de f. El algoritmo de Euler hace una evaluación de f por paso y el de RK4 hace cuatro, mientras que los de Taylor, tienen la complicación de evaluar las derivadas de f en cada paso. Por esta razón, y dado que un método de Runge-Kutta de orden m tiene la misma precisión que el método de Taylor de igual orden, es que los métodos de Taylor no se utilizan con fines prácticos.
Por lo dicho anteriormente, el método RK4 requiere cuatro veces más esfuerzo por paso. Este hecho puede resultar engañoso ya que suele obtenerse con pocos pasos de RK4 la misma precisión que con cientos del método de Euler. Por ejemplo, analicemos los resultados obtenidos al aplicar ambos procedimientos en el siguiente PVI:
La solución exacta de este problema está dada por y = 2 + 2 t + et. El valor aproximado de y(1) obtenido con los métodos de Euler y Runge Kutta y con distintos pasos para cada uno de ellos, arrojó los resultados tabulados en la tabla siguiente:
Se observa en esta tabla que al reducir el tamaño del paso en un factor 10, se reduce el error un factor 10 para el método de Euler, y un factor 10000 para el método de Runge-Kutta de orden 4. Esto es consecuencia del error global de cada método.
Consistencia, estabilidad y convergencia
Hay algunas propiedades importantes de las ecuaciones en diferencias para problemas de valor inicial de EDOs de primer orden que deben considerarse antes de que se pongan en práctica los métodos numéricos. Ellas son consistencia, estabilidad y convergencia.
Se dice que una ecuación en diferencias es consistente con una EDO si la diferencia entre ambas (el error de truncamiento) se acerca a cero a medida que el paso h tiende a cero. En símbolos, si llamamos ti(h) al error local de truncamiento, podemos decir:
Con este concepto se analiza la relación entre la ecuación diferencial y su formulación discreta. Cuando se conoce el error de truncamiento, es fácil probar la consistencia. Cuando no se conoce, debe analizarse la ecuación en diferencias completa para probar la consistencia, utilizando el desarrollo de Taylor.
Un método es estable si produce soluciones acotadas cuando la solución exacta es acotada y es inestable cuando produce una solución no acotada cuando la solución exacta es acotada.
Hay varias definiciones de estabilidad. Informalmente, se dice que un método es inestable si los errores en las aproximaciones crecen en forma exponencial a medida que el cálculo avanza.
Por último, se dice que un método de la ecuación en diferencias de un paso es convergente respecto a la ecuación diferencial que aproxima, si
Con la convergencia se analiza la relación entre la solución numérica y la solución exacta de la ecuación diferencial. Si se cumplen las condiciones de estabilidad y consistencia en un problema bien planteado, entonces podremos asegurar la convergencia.
El método de Runge–Kutta de orden 4 no presenta inestabilidad numérica para valores de h suficientemente pequeños. Pero para el método de Euler estudiado no se puede decir lo mismo.
Por ejemplo, utilicemos este método para resolver el problema:
La solución exacta de esta ecuación está dada por y(t) = e-t, siendo una función acotada.
La ecuación del método de Euler resulta
yn+1 = yn + h (- yn) = (1 – h) yn = G yn
Aplicando reiteradamente esta fórmula podemos expresar entonces la solución aproximada en función de y0:
yn+1 = (1 – h)n+1 y0 , n = 1, …, N.
Se ve en esta ecuación que la solución discreta va a ser acotada siempre que la constante 1-h sea menor a uno en valor absoluto. Esto implica que h debe ser menor a 2, aunque el comportamiento óptimo se da para valores de h entre 0 y 1. Por lo tanto, la solución obtenida con el método de Euler será estable siempre que h sea menor que 2. El hecho de que la estabilidad del método dependa del valor de h, hace que el método sea condicionalmente estable.
Este análisis de estabilidad puede hacerse sólo para ecuaciones diferenciales lineales. En el caso de ecuaciones diferenciales no lineales, deben primero linealizarse localmente, y realizar un análisis de estabilidad en la ecuación de diferencias que aproxima a la ecuación diferencial linealizada.
6.2 Metodo de Pasos Multiples
Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.
6.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Ecuaciones diferenciales ordinarias Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales se puede escribir: De manera abreviada, en forma matricial Donde A (t) es la matriz de coeficientes del sistema y b (t) es un valor columna de términos independiente. El sistema se llama homogéneo si b (t) = 0. Relación entre un sistema y una ecuación Se examina brevemente el paso de un sistema de n ecuaciones de orden 1 a una ecuación de orden n, y viceversa (abreviaremos uno y otra por “sistema” y “ecuación”, respectivamente). De ecuación a sistema Ecuación diferencial ordinaria de orden n lineal Se dice que son homogéneas cuando b (t) = 0. Se demuestra que siempre se puede escribir una ecuación diferencial ordinaria de orden n como n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
En forma matricial se define como:
Para aplicar métodos matemáticos a un problema físico o de la “vida real”, debemos formular el problema en términos matemáticos; es decir, debemos construir un modelo matemático para el problema. Muchos problemas físicos se refieren a las relaciones entre cantidades cambiantes. Dado que las tasas de cambio están representadas matemáticamente por derivados, los modelos matemáticos a menudo involucran ecuaciones que relacionan una función desconocida y una o más de sus derivadas. Tales ecuaciones son ecuaciones diferenciales. Ellos son el tema de este libro.
Gran parte del cálculo se dedica a aprender técnicas matemáticas que se aplican en cursos posteriores de matemáticas y ciencias; no tendrías tiempo de aprender mucho cálculo si insistes en ver una aplicación específica de cada tema tratado en el curso. De igual manera, gran parte de este libro está dedicado a métodos que se pueden aplicar en cursos posteriores. Sólo una parte relativamente pequeña del libro está dedicada a la derivación de ecuaciones diferenciales específicas a partir de modelos matemáticos, o relacionar las ecuaciones diferenciales que estudiamos con aplicaciones específicas. En esta sección mencionamos algunas aplicaciones de este tipo. El modelo matemático para un problema aplicado es casi siempre más sencillo que la situación real que se estudia, ya que generalmente se requieren supuestos simplificadores para obtener un problema matemático que pueda resolverse. Por ejemplo, al modelar el movimiento de un objeto que cae, podríamos descuidar la resistencia al aire y la atracción gravitacional de cuerpos celestes distintos de la Tierra, o al modelar el crecimiento de la población podríamos suponer que la población crece continuamente en lugar de en pasos discretos.
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