INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE FUNCIONES

 5.1 Polinomio de interpolación de Newton

Utilizar la matriz de Vandermonde para muchos nodos no es muy buena idea ya

que el tiempo de cálculo para matrices grandes es excesivo. Es mucho más

sencillo utilizar el método clásico de las diferencias divididas de Newton.

Recordemos su definición, para dos nodos, se llama diferencia dividida de orden

uno a :

Mientras que la diferencia dividida de orden n se obtiene por recurrencia a partir de las anteriores como:

El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces: p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1, ... , xn] El polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma más popular además de las más útil.

5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange 

Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1 Se requiere entonces que el numerador contenga (x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn) El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk. 

N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange Teorema Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n

Este polinomio está dado por: 

Donde:

Aproximación a 1/x con interpolantesde Lagrange Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25. Los polinomios de Lagrange son:

P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3 P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15 f(3) = P(3) = 0.325 P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 f(3) = P(3) = 0.325

5.3 Interpolación segmentada.

 

Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. 

5.4. RELACION Y CORRELACION

La relación es una medida de la asociación entre dos variables cuantitativas. La correlación es una medida estadística que indica la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables.

La relación puede ser positiva, negativa o neutra. Una relación positiva significa que a medida que una variable aumenta, la otra también lo hace. Una relación negativa significa que a medida que una variable aumenta, la otra disminuye. Una relación neutra significa que no hay asociación entre las dos variables.

La correlación se mide en una escala de -1 a 1. Un coeficiente de correlación de 1 indica una correlación positiva perfecta, mientras que un coeficiente de -1 indica una correlación negativa perfecta. Un coeficiente de correlación de 0 indica que no hay correlación entre las variables.

Es importante tener en cuenta que la correlación no implica causalidad. Solo porque dos variables están correlacionadas no significa que una sea la causa de la otra.

5.5. MINIMOS CUADRADOS 

Los mínimos cuadrados son una técnica estadística utilizada para encontrar la mejor línea de ajuste que se ajuste a un conjunto de datos. Esta línea de ajuste se utiliza para predecir valores futuros basados en datos históricos. 

La teoría de los mínimos cuadrados se basa en minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores predichos por la línea de ajuste. Esta técnica se utiliza en muchas áreas, como la econometría, la estadística, la ingeniería y la física, por nombrar algunas.

Para utilizar los mínimos cuadrados, primero hay que identificar la relación entre las variables que se están analizando. Luego, se calcula la pendiente y la intersección de la línea de ajuste utilizando fórmulas estadísticas. Por último, se evalúa la calidad de la línea de ajuste mediante el cálculo del error cuadrático medio.

Los mínimos cuadrados son una herramienta importante en el análisis de datos y pueden proporcionar información valiosa para la toma de decisiones empresariales y la investigación científica.

5.6. PROBLEMA DE APLICASION

En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico-estructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas.

En este documento se presentan algunas aplicaciones de los métodos numéricos a diversos problemas de ingeniería. Se muestra una descripción de algunos de los problemas importantes en el diseńo asistido por computadora utilizando métodos numéricos que actualmente se abordan en ingeniería. Se explican además algunos ejemplos con desarrollos teóricos y computacionales que se realizan en el Centro de Investigación en Matemáticas CIMAT (Guanajuato, México). Este trabajo presenta un panorama general de algunas de las aplicaciones que pueden darse a los métodos numéricos.