4.1.Diferenciación numérica
Es una técnica que permite calcular una aproximación a la derivada de
una función. Como el concepto original de la derivada de una función, esta aproximación
se realiza alrededor de un punto utilizando los valores y propiedades que se conocen del
cálculo diferencial de una variable. En este sentido será objeto de estudio la fórmula de
diferencias finitas.
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por
lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce
únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función
representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos
técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de
error de dichas formulas.
FORMULAS.
Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x)
en el punto "x" está dada en términos del límite:
De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:
(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula
numérica para aproximar la derivada:
4.2 Integración numérica
En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de
algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión,
el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver
ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a
cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si
se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más
dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una
solución aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial
para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados
para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos
desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral
definida.
4.3 Integración múltiple.
Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo,
una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional
puede escribirse como sigue:
Al numerador se le llama integral doble.
Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para
evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble
de una función sobre un área rectangular.
Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales
iteradas.
Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta
primera integración se incorpora en la segunda integración.
Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se
aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos
múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la
segunda dimensión.
4.4.Aplicaciones.
Se puede utilizar para realizar el calculo de aproximaciones del integrales definidas mediante una serie de procedimientos.
También pueden utilizarse para calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve en una dimensión. así como el cálculo de la superficie, de la superficie, de momento de inercia, de trabajo y muchos más.
Se puede encontrar en Matemáticas, En Física, Calculo y en la vida cotidiana.
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